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FACTORIZACION

FACTORIZACION


Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Ejemplo:                  

a(a + b) = a2 + ab
(x + 2) (x +3) = x2 + 5x + 6
(m + n) (m- n) = m2  - mn - n2 


CASOS DE FACTORIZACION
CASO 1
CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN



Factor Común Monomio:
Ejemplo 1:
14x2 y2  - 28x3 + 56x4
R: 14x2  (y2  - 2x + 4x2)
Ejemplo 2:

X3 + x5 – x7     =     R:  x3 (1 + x2  - x4)         

Ejemplo 3:

100a2 b3c –150ab2c2  + 50 ab3c3 - 200abc2= 

R:  50abc (2ab2 – 3bc  +b2c2 – 4c)       
Factor Común Polinomio:
  
Ejemplo 1:
a(x + 1) + b(x + 1)
R:  (x + 1) (a +b)
Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) -  (x + y – 1)( 3x +2)
R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)
(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)  
-z ( 3x +2)
Ejemplo 3:
(a + b -1) (a 2 + 1) – a2 – 1
R: ( a + b -1) (a 2 + 1) –( a2 + 1)
  ( a2 + 1)(a + b - 1)-1
     ( a2 + 1)(a + b  -1 -1)
      ( a2 + 1)(a + b  -2)


 CASO 2
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TERMINO
Ejemplo 1:

a2 + ab + ax + bx
(a2 + ab)  +  (ax + b)
a(a + b) + x(a +b)
(a + b) (a +x)

Ejemplo 2:
4am3 – 12 amn – m2  + 3n
= (4am3 – 12amn) – (m2 +  3n)
=4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n)
R: (m2 – 3n)(4am-1)
Ejemplo 3:
a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x
= (a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x)
= (a2b3 + a2b3x2  – 3a2b3x) – (n4 + n4x2 - 3n4x)
= a2b3 (1 + x2 – 3x)- n4 (1 + x2 -3x)
R:   (1 + x2 – 3x) (a2b3 -  n4 )


CASO 3

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Ejemplo 1;
a2 – 2ab + b2
Raíz cuadrada  de a2  = a
Raíz cuadrada  de b2   = b
Doble producto sus raíces
(2 X a  X b) 2ab  (cumple)   
R: (a – b) 2
Ejemplo 2:
49m 6– 70 am3n2 + 25 a2n4
Raíz cuadrada  de 49m6  = 7m3  
Raíz cuadrada  de 25a2n4  = 5an2
Doble producto sus raíces
(2 X 7m3  X  5a2n2) =  70am3 n2  (cumple)   
R: (7m – 5an2)
Ejemplo 3:
9b2 – 30 ab + 25a2
Raíz cuadrada  de 9b2  = 3b  
Raíz cuadrada  de 25 a2= 5a
Doble producto sus raíces
(2 X 3b  X  5a) =  30ab  (cumple)  

R: (3b - 5a) 2



CASO ESPECIAL
Ejemplo 1:


a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2

Raíz cuadrada  de a2  = a  

Raíz cuadrada  de (a – b) 2 = (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a  X  (a – b) =  2a(a – b) (cumple)   

R: (a + (a – b)) 2

    (a + a – b) = (2a –b) 2   

Ejemplo 2: 
(x + y) 2 – 2(x+ y)(a + x) + (a + x) 2

Raíz cuadrada  de (x + y)2  =(x + y)  

Raíz cuadrada  de (a + x) 2 = (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y)  X  (a + x)) =  2(x +y)(a + x) (cumple)   

R: ((x +y) – (a + x)) 2

    (x + y – a – x) 2 = (y – a) 2

CASO 4
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 
Ejemplo 1:



X2 - y 2

x      y  = Raíces 
Se multiplica la suma por la diferencia
                R: = (x + y) (x- y) 

 Ejemplo 2:

100m2n4 - 169y6
10mn2           13y3 =  Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia    
                           R: = (10mn2 + 13y3) (10mn2- 13y3)

Ejemplo 3:

1 - 9a2b4c6d8
1       3 ab2c3d4    =  Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia     
                           R: = (1 + 3 ab2c3d4) (1- 3 ab2c3d4)


CASO ESPECIAL
Ejemplo 1:
(a - 2b)2 - (x +  y)2
  (a - 2b)      (x + y)   = Raíces 
Se multiplica la suma por la diferencia

          R: = ((a - 2b) + (x + y))  ((a - b) -  (x + y))
                  (a - 2b + x + y)   (a -2b - x - y)

Ejemplo 2: 
16a10 - (2a2 + 3) 2
4a5         (2a2 + 3)  =  Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
                                    R: = ((4a5 + (2a2 + 3))( 4a5 - (2a2 + 3))
                                   (4a5 + 2a2 + 3)(4a5 - 2a2 - 3)

Ejemplo 3:

36(m + n)2 - 121(m - n)2
6(m + n)           11(m - n)   =  Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia      
                           R: = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n))
                                  (6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)
                                  (17m + 5n ) (5m +17n)


CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS 3 Y 4
Ejemplo 1:

a2 + 2ab + b2 - x2
(a2 + 2ab + b2) - x2
(a + b) 2 - x2

R : (a + b + x)(a + b - x)

Ejemplo 2:

1 - a2 + 2ax - x2
1 - (a2 + 2ax - x2)
1 - (a - x)2

R: (1 - a + x) (1 + a + x)

Ejemplo 3: 
16a2 - 1 - 10m + 9x2 - 24ax - 25m2
(16a2 -24ax +  9x2) - (1 + 10m + 25m2)
(4a - 3x) 2 - (1 + 5m) 2

R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1)


CASO 5

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Ejemplo 1:

a4 +    a2 + 1
 + a2  - a2
a4 + 2a2+ 1 - a2
(a4 + 2a2+ 1) - a2
(a2 + 1)2 - a2

R: (a2+ a + 1) (a2– a + 1)

Ejemplo 2: 
254 + 54a2b2 + 49b4
  + 16 a2b2 - 16 a2b2­
254 + 70a2b2 + 49b4 - 16 a2b2­
(254 + 70a2b2 + 49b4) - 16 a2b2­
(5a2 + 7b)2- 16 a2b2

R: (5a2 + 7b2 + 16 ab) (5a2 + 7b2- 16 ab)
     (5a2 + 16ab +7b2) (5a2 - 16 ab +7b2)

CASO ESPECIAL
FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS
Ejemplo 1: 


x4+ 64y4
 + 16x2y2    - 16x2y2      

x4   + 16x2y2  + 64y4     - 16x2y2



(x4   + 16x2y2  + 64y4)   - 16x2y2

(x2   +  8y2)2   - 16x2y2



R: (x2   +  8y2 + 4xy)  (x2   +  8y2 - 4xy)
    (x2   + 4xy +  8y2)  (x2   - 4xy +  8y2)



Ejemplo 2:

4m4 + 81n4
+ 36m2n2 - 36m2n2
4m4  + 36m2n2  + 81n4   - 36m2n2



(4m4  + 36m2n2 +81n4)   - 36m2n2

(2m2 + 9n2)2 - 6m2n2


R: (2m2 + 9n2 - 6mn) (2m2 + 9n2 - 36mn)
     (2m2 + 6mn + 9n2) (2m2  - 6mn + 9n2)




Ejemplo 3: 

81a4 + 64b4
 +144a2b2 - 144a2b2
81a4  +144 a2b2 +64b4 -144 a2b2



(81a4  +144 a2b2 +64b4) -144 a2b2

(9a2 + 8b2)2 - 144 a2b2


R: (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 8b2 - 12 ab)
     (9a2 + 12 ab + 8b2) (9a2 - 12 ab + 8b2)



CASO 6
TRINOMIO DE LA FORMA
  x2 + bx + c
Ejemplo 1:

x2 + 7x + 10
R :( x + 5 )  ( x + 2 )
Ejemplo 2:
n2 + 6n – 16  
R: ( n  +  8 )  ( n – 2 )
Ejemplo 3:
a2 + 42a + 432
R: ( a + 24   )   (a   + 18  )
CASOS ESPECIALES
Ejemplo 1 

X8 – 2x4 – 80

R: ( x4  – 10  )   (  x4   +  8  )
Ejemplo 2:
(m – n)2 + 5(m – n) – 24 
R: (( m – n) +   8 )   ((m – n)   –  3 )    
  ( m – n +   8 )   (m – n  –  3 )    
Ejemplo 3:
m2 + abcm – 56a2b2c2
R: ( m  +   8abc  )  (m   –  7abc) 



CASO 7
TRINOMIO DE LA FORMA 


ax2 + bx + c

Ejemplo 1:
2x2 + 3x – 2
(2) 2x2 +(2) 3x –(2) 2

= 4x2 + (2) 3x – 4

= (2x +  4 )   (2x – 1 )
         2         x      1
R= (x  +  2)  (2x – 1)

Ejemplo 2:

16m + 15m2 – 15
15m2 + 16m – 15
15(15m2) +(15) 16m –(15) 15

= 225m2 + (15) 16m – 225
= (15 m  + 25 )   ( 15 m – 9 )
               5         x        3
R= ( 3m + 5 )  ( 5m  – 3 )  

Ejemplo 3:

30x2 + 13x –10  
(30) 30x2 +(30) 13x – (30) 10  
900x2 + (30)13x – 300
= (30x  + 25  )   (30 x – 12 )
              5         x        6
= (6x + 5) (5x – 2)


CASOS ESPECIALES
Ejemplo 1: 


6x4 + 5x2 – 6

(6) 6x4 + (6)5x2 – (6) 6

36x4 + (6)5x2 – 36
= (6x2 + 9 )  (6x2 – 4 )
           3      x      2
= (2x2 + 3) (3x2 – 2)

Ejemplo 2:

6m2 – 13am – 15a2

(6) 6m2 – (6) 13am – (6)15a2

36m2 – (6) 13am – 90 a2

 = (6m – 18a )   (6m  + 5a )
            6         x      1

=  (m – 3a )  (6m  +  5a)
Ejemplo 3:
18a2 + 17 ay – 15y2

(18) 18a2 + (18)17 ay – (18) 15y2

324a2 + (18) 17ay – 270y2


= (18a + 27  )   (18a – 10 )
            9          x       2

= (2a +  3y) (9a – 5y)



CASO 8
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Ejemplo 1:


a3 + 3a2 + 3a + 1
Raíz cúbica de a3 =  a
Raíz cúbica de 1   = 1

Segundo término= 3(a)2(1) = 3a2

Tercer término     = 3(a)(1)2 = 3a


R:  (a + 1)3

Ejemplo 2:
64x9 – 125y12 – 240x6y4 + 300x3y8
64x9 – 240x6y4 + 300x3y8 – 125y12
Raíz cúbica de 64x9 = 4x3
Raíz cúbica de 125y12  = 5y4

Segundo término= 3(4x3)2(5y4) = 240x6y4

Tercer término     = 3(4x3)(5y4)2 = 300x3y8




R:  ( 4x3 – 5y4 )3
 Ejemplo 3:
125x12 + 600x8y5 + 960x4y10 + 512y15
Raíz cúbica de 125x12 = 5x4
Raíz cúbica de 512y15   =8y5

Segundo término= 3(5x4)2(8y5) =600x8y5

Tercer término     = 3(5x4)(8y5)2 =960x4y10




R:  ( 5x4 + 8y5 )3


CASO 9
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Ejemplo 1:


1 + a3  
(1 + a) (12 – 1(a) +( a)2)
R:(1 + a) (1 – a + a2)

Ejemplo 2:
x3 – 27   
(x – 3 ) ((x)2 + (x)3 + (3)2)
 R: (x – 3 ) (x2 + 3x + 9)

Ejemplo 3:
x6 – 8y12
(x2 – 2y4) ((x2)2 + (x2)(2y4) + (2y4)2)
R: (x2 – 2y4) (x4 + 2x2 y4 + 4y8)
CASOS ESPECIALES
Ejemplo 1: 
1 + (x + y)3  
(1 +(x + y) (12 – 1(x + y) +(x + y)2)

R:(1 + x + y) (1 – (x + y) + (x + y)2)
    (1 + x + y) (1 – x – y  + x2 + 2xy + y2)

Ejemplo 2:
(m – 2)3  + (m – 3)3  
((m – 2) + (m – 3) ((m – 2)2 – ((m – 2) (m – 3) + (m – 3)2)

R: (m – 2+ m – 3) ((m2 – 4m + 4) – ((m – 2) (m – 3)) + (m2 – 6m  + 9))
    (2m – 5) (m2 – 4m + 4) – (m2 – 3m  – 2m + 6) + (m2 – 6m  + 9))
    (2m – 5) (m2 – 4m + 4– m2 + 3m  + 2m – 6 + m2 – 6m  + 9)
    (2m – 5) (m2 – 5m +7)

Ejemplo 3:

(x – y)3 – 8 
((x – y) – 2)  ((x– y)2 + 2(x – y) + (2)2)

R: (x – y – 2) (x2 – 2xy + y2 + 2x– 2y + 4) 


CASO 10
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
Ejemplo 1:
  

a5 + 1
a5 + 1    =  a4 – a3 + a2 – a + 1
 a + 1
Ejemplo 2: 
m7 – n7

m7 – n7    =  m6 + m5n + m4n2 + m3n3 + m2n4+ mn5 + n6
 m – n  
Ejemplo 3:


x7 + 128
x7 + 128    =  x6 – 2x5 + 4x4 – 8x3 +16x2  – 32x + 64

  x + 2


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